Algèbre linéaire Exemples

$7 x - 4 y = 60$ , $2 x - 5 y = 21$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 7 & - 4 & 60 \\ 2 & - 5 & 21 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{7} & \frac{- 4}{7} & \frac{60}{7} \\ 2 & - 5 & 21 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{7} & \frac{60}{7} \\ 2 & - 5 & 21 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{7} & \frac{60}{7} \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 (- \frac{4}{7}) & 21 - 2 (\frac{60}{7}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{7} & \frac{60}{7} \\ 0 & - \frac{27}{7} & \frac{27}{7} \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{27}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{27}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{7} & \frac{60}{7} \\ - \frac{7}{27} \cdot 0 & - \frac{7}{27} (- \frac{27}{7}) & - \frac{7}{27} \cdot \frac{27}{7} \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{7} & \frac{60}{7} \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{7} \cdot 0 & - \frac{4}{7} + \frac{4}{7} \cdot 1 & \frac{60}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 8$

$y = - 1$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(8, - 1)$

Étape 5

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 1 \end{array}]$